Alexandre Katsapov se narodil v Petrohradě, zde žil do svých 20-ti let. Vystudoval Ruskou baletní akademii A. Vaganovové, poté byl v letech 1993–96 v angažmá ve Státním akademickém divadle Musorgského. Zde mimo jiné tančil Alberta v Giselle, Modrého ptáka ve Spící krasavici, Prince v Louskáčkovi, Romea a Merkucia v Romeovi a Julii, Jamese v La Sylphide či titulní roli v Petruškovi.

Od sezony 1997–98 se stal sólistou Národního divadla v Praze, kde uplatňuje výtečnou klasickou techniku i ojedinělé nadání pro ztvárnění charakterních rolí. K jeho úspěchům klasického repertoáru patří Princ v Labutím jezeře, Louskáčkovi a Šípkové Růžence, Romeo a Merkucio v baletu Romeo a Julie, Abdérachman v Raymondě a Albert v baletu Giselle choreografa Christophera Hampsona. Z moderního repertoáru vzbudily pozornost jeho výkony v choreografiích Jiřího Kyliána Dítě a kouzla, Sinfonietta, Polní mše, Návrat do neznámé země, Petite Mort a sólové party ve složených baletních večerech Amerikana II., Motýlí efekt, Zpěvy země, Rodinné album a Mozart? Mozart!. Smysl pro ztvárnění charakterních rolí projevil také v inscenacích Libora Vaculíka jako Liftboy–Smrt v představení Isadora Duncan – příběh slavné tanečnice, Johannes Friedemanna v tanečním dvojvečeru Malý pan Friedemann / Psycho, I. kabaretiér v představení Někdo to rád… a jako Alfonso Aragonský v hudebně-tanečním příběhu Lucrezia Borgia. Na premiéře Amerikany II v lednu 2002 tančil po boku Darii Klimentové, české primabaleríny působící v Londýně, Oidipa v Tetleyho choregrafii Sphinx. Za svůj výkon zasloužil nadšené ohlasy odborné kritiky. Divákům se také představil jako Ďábel v britské verzi baletu Louskáček – Vánoční příběh a jako Merkucio v nové verzi baletu Romeo a Julie choreografa Youriho Vamose, v hlavních rolích v baletech světoznámého choreografa Johna Cranka Zkrocení Zlé ženy a Oněgin, v komponovaném večeru s názvem Baletománie tančí Otroka v Pas de trois z baletu Korzár, v choreografii George Balanchina Čajkovskij, Pas de deux a Jiřího Kyliána Návrat do neznámé země. V představení Ibbur aneb Pražské mystérium choreografa a šéfa baletu ND Petr Zusky velmi sugestivně ztvárnil postavu Já / pacient na psychiatrii a v dětském baletu Zlatovláska choreografa Jana Kodeta postavu Jiříka.

V roce 1995 získal 2. cenu na mezinárodní soutěži Sanlam v jihoafrické Pretorii.

2002 dostal Cenu Thálie za ztvárnění postavy cara v baletu Ivan Hrozný choreografa a režiséra Libora Vaculíka a o rok později byl nominován na Cenu Thálie za roli Petruchia v baletu Zkrocení zlé ženy.

Za rok 2003 obdržel hlavní cenu Philip Morris Ballet Flower Award, která je u nás udělována nejlepšímu baletnímu umělci v oboru klasický tanec.

2004 se účastnil mezinárodního tanečního festivalu v Rize.

2005 vystoupil na slavnostním večeru k 85. výročí baletu Slovenského národního divadla v Bratislavě s choreografií Les Bras de Mer. Pravidelně hostuje v baletu Národního divadla v Brně a Bratislavě.

Za roli v představení Brel-Vysockij-Kryl / Sólo pro tři byl v roce 2007 nominován na Cenu KB a Cenu Divadelních novin.

Nyní se podílí na těchto inscenacích
- Labutí jezero (Princ / Pas-de-trois)
- Louskáček - Vánoční příběh (Bob Cratchit / Ďábel / Španělský tanec)
- Baletománie
- Ibbur aneb Pražské mystérium (Já / pacient psychiatrie)
- Mozart? Mozart! (Amadeus / Soprán – tanec / IV. Pas de deux)
- Oněgin (Oněgin)
- Zlatovláska (Jiřík)
- Česká baletní symfonie
- Romeo a Julie (Merkucio)
- Giselle (Albert)
- Úplné zatmění (Verlaine)
- Sólo pro tři (hl.role)
- La Sylphida/Napoli (James/tančí)
- Causa Carmen (Don Jose)