Hokejově vyrostl ve Vsetíně, kde jeho první krůčky sledoval jeho otec, legendární obránce Alexej Jaškin. „Už od malička byl výjimečný,“ říkal vždy o svém synovi bývalý obránce, který zažil aktivně zlatou éru vsetínského hokeje.

V patnácti letech odešel Dmitrij studovat do Prahy a jako hokejový tým zvolil pražskou Slavii. Už od začátku sezony 2008/2009 bylo jasné, že v tomto dorostenci roste Slavii budoucí opora A-týmu. V 55 zápase nasbíral stejný počet bodů. Další sezonu střídal červenobílý dres staršího dorostu s juniorky. V obou kategoriích patřil mezi opory a na konci sezony oslavil se staršími dorostenci zisk mistrovského titulu. Už tehdy bylo jasné, že dříve nebo později mu dá trenér Růžička šanci v extralize.

Svůj talent veřejnosti naplno ukázal v ročníku 2010/2011, kdy jako kometa vlétl do Extraligy. Zabrzdilo ho však zranění kolena, kvůli němuž přišel i o mistrovství "dvacítek" v USA na přelomu roku. Na konci sezóny však patřil k tahounům reprezentace na "osmnáctkách", jež se konaly v sousedním Německu.