Josef Veselý patří k předním rozhlasovým tvůrcům. Po studiích na Universitě Karlově nastoupil do Českého rozhlasu Brno, kde pracuje dodnes. Podílel se na programových řadách Šipka, Domino, Rádio na polštář, Hezky česky, Dveře dokořán, v současné době se věnuje seriálu Toulky českou minulostí, který patří k nejposlouchanějším na 2. programu Českého rozhlasu. Kromě toho se věnuje úspěšnému soutěžnímu pořad Kdo to byl a připravuje týdeník Račte vstoupit k Josefu Veselému, v němž přináší 3 hodiny nejenom archivních materiálů, ale i nových příspěvků.

Významná je jeho spolupráce s Jaromírem Ostrým, s nímž vysílal řadu let Trefu a nyní týdeník Jak na tom jsem, pane doktore. Posílí se na životopisné řadě Velké osudy a vystupuje pravidelně v živě vysílaném Rendez-vous.

Vydal knihu Kterak, v níž osobitým způsobem vypráví o našich místech, osobnostech a událostech slavných i neslavných a v současné době pracuje na jejím pokračování.