Dětství strávil s matkou v Peci pod Sněžkou. Přírodní prostředí jej ovlivnilo, láska k přírodě mu zůstala dodnes. Sám tvrdí, že jej k herectví přivedla pětka z chemie, kterou dostal ve třetím ročníku na gymnáziu, ročník opakoval. Aby se „nenudil“, přihlásila jej učitelka na recitační soutěž, kterou vyhrál. Začal se věnovat ochotnickému divadlu a po absolvování trutnovského gymnázia odešel studovat DAMU. Studoval s Tomášem Pavelkou a Klárou Pollertovou-Trojanovou. Společně se svými kolegy z DAMU po absolutoriu odchází do jednoho divadla a účinkují v Ústí nad Labem.

Jašków sice není v televizi neznámou tváří, ale mnohem více se věnuje divadlu (mj. Švandovo divadlo). Můžeme ho vidět například po boku bratrů Dlouhých ve hře Elling a Kjell Bjarne aneb Chvála bláznovství, Bomby, prachy a láska aj.

Z televizních rolí mezi nejznámější patří veterinář Hroch (Ranč u Zelené sedmy III.), učitel ve filmu Smrt pedofila, mezi další filmy patří Ene Bene, Uniforma, Explicitní důkaz, Happy End, seriál Ulice (mafián Vasil Švečenko), Expozitura a Nemocnice na kraji města po 20 letech doktora Novosada.

Oobjevil se také v cyklu TV Nova Soukromé pasti.

Robert Jašków má tři děti se svojí přítelkyní herečkou Petrou Bartošovou. Má původem polské jméno, které se vyslovuje Jaškův.